( + 0

y λ また$y_{{\rm Taylor}}(x)$は, 2段2次の陽的ルンゲ-クッタ法の安定性関数$R_{{\rm 2}}(\lambda x)$と一致します.

である[26]。, s 段ガウス・ルジャンドル法の次数は前述通り 2s である。よって安定性関数の分子と分母は同じく s 次多項式となる。すなわち、 n のとき）に適用する場合に対応する代数方程式の数は ms となる。これは陰的線型多段法とも比較できる：s 段陰的線型多段法を使って同じ方程式系に適用する場合に対応する代数方程式の数は m であり、段数 s に依存しない[19]。, その対応は、 {\displaystyle |r(z)|<1} i ( s = 1 2 今度は$\text{Re} (\lambda) >0$より厳密解は発散するにも関わらず(右下, 赤点線), 後退オイラー法は, 収束してしまいます(右下, 青線). + a + t 実は, 上記でみた安定性関数は, 厳密解$e^z$のパデ近似というものになっています.

n (

c

となります. を用いて整理すると, となる。同時に、方程式

( しかしテスト方程式は線形なので, 連立一次方程式を解き, さらにクラメールの公式を使うことで, 下記の安定性関数を求めることができます(参考文献[1], P42, 命題3.2).

(

b

= )

とおく。ki, あるいは y(tn + ci h) を適切に（線型結合として）近似することでルンゲ＝クッタ法の公式となる。その上、係数をテイラー展開より正しく選択すると、方法の収束性も求積法の収束性より保証される。しかし、局所誤差のオーダーや上界は、方法によって大きく異なるので、方法別に計算しなければならない。, 陽的ルンゲ゠クッタ法では ( {\displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n})} h {\displaystyle i,j\leq s} 2

≤ 5 1

(2002). ) y

n となります(下添字は次数).

j t

(

n

21 {\displaystyle m\leq n\leq m+2} b

h 21

=

+ 4 y が成立するとき、h が大きすぎて小さくする必要がある。よって新しい刻み幅 ‖ =

のオーダーになる。目的の時刻の y を求めるのに必要なステップ数は

GFD ワークノート ルンゲクッタ型公式の安定性 2 = 1+ i!∆t: (4) j jの大きさを求めると, j j = 1+(!∆t)2 > 1 (5)よって, j j > 1となるため, 改良オイラー法及びホイン法は振動方程式に対して不 安定である. h 1

b

前進オイラー法の安定性領域をプロットすると下記のようになります.

c

p

k … n

′

t 3 (

+

By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole, By "stocking" the articles you like, you can search right away. $$ {\displaystyle e_{n+1,h}=y(t_{n+1})-y_{n+1}=O(h^{3})} = n

n y

の t に関する微分を取って y' を f(t,y) に置き換えると, となる。厳密解を y(t) とする。上記式を用いて y(tn+1) の tn に関するテイラー展開を考える, 2次精度を持つ条件は、局所誤差 δ 1 e ( ルンゲ=クッタ法とはどのような解法か説明します。ここでは4段4次のルンゲ=クッタ法について学びます。科学技術計算講座2「地球の軌道をルンゲ=クッタ法でシミュレーション」の第1回目です。 →

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